- Локально тривиальное расслоение
-
Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.
Содержание
Определение
Пусть
,
и
суть топологические пространства. Сюрьективное отображение
называется локально тривиальным расслоением пространства
над базой
со слоем
если для всякой точки базы
существует окрестность
, над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм
, такой что коммутативна диаграмма
.
Здесь
— проекция произведения пространств на первый сомножитель.
Пространство
также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.
Связанные определения
- Сечение расслоения — это отображение
, такое что
. Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть
— многообразие, а
подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении
. Тогда сечение расслоения
— это векторное поле без нулей на
. Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
- Множество
называется слоем расслоения
над точкой
. Каждый слой гомеоморфен пространству
, поэтому пространство
называется общим (или модельным) слоем расслоения
,
- Гомеоморфизм
, отождествляющий ограничение расслоения
над окрестностью точки
с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения
над окрестностью точки
.
- Если
— покрытие базы
открытыми множествами, и
— соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство
называется тривиализующим атласом расслоения
.
- Предположим локально тривиальное расслоение
снабжено покрытием
базы
с выделенной тривиализацией
и сужение любого отображения сличения
на слой принадлежит некоторой подгруппе
группы всех автоморфизмов
. Тогда
называется локально тривиальным расслоением со структурной группой
.
Примеры
- Тривиальное расслоение, то есть проекция
на первый сомножитель.
- Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
- Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
- Если на пространстве
задано непрерывное свободное действие группы
, то естественное отображение
является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.
- Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
- Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение
. Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой
, а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
- Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство
), общий слой (пространство
) и отображения перехода (1-коцикл Чеха
) для какого-нибудь открытого покрытия пространства
. Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида
с правилом отождествления:
, если
Свойства
- Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы
— локально тривиальное расслоение, отображения
и
, так что
, и гомотопия
отображения
(
). Тогда существует гомотопия
отображения
, такая что диаграмма коммутативна
- Пусть имеется локально тривиальное расслоение
со слоем
(иногда записываемое формально как
). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
- Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:
- Если
, то
.
- Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа
некоммутативна, одномерные когомологии
не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха
:
,
- где
— 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха
. 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)
- Для любого локально тривиального расслоения
и непрерывного отображения
индуцированное расслоение
является локально тривиальным.
Вариации и обобщения
- Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
- Если пространства
— гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение
— гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким.
- Расслоение называется голоморфным, если пространства
— комплексные многообразия, отображение
— голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
- Главное расслоение.
Литература
- Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
В этой статье слишком короткое вступление. Пожалуйста, дополните вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи и обобщающую её содержимое.Категория:- Расслоения
- Сечение расслоения — это отображение
Wikimedia Foundation. 2010.