- Неравенство Юнга
-
Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.
Содержание
Формулировка
Пусть и — сопряженные показатели (то есть такие числа, что ). Тогда
- .
Доказательство
Для или неравенство очевидно. Для , неравенство следует из выпуклости логарифмической функции: для любых ,
.
Положив в этом неравенстве получим, что
,
которое равносильно неравенству Юнга.
Альтернативный вариант
Доказательство, как частный случай неравенства Юнга-Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга-Фенхеля записывается в виде:
- ,
где есть преобразование Лежандра от функции . Если положить , то преобразование Лежандра в точке даёт
- ,
где . Подставляя полученное в исходное неравенство получаем искомый результат.
Замечание
Равенство достигается в том и только том случае, когда .
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Неравенства
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.