- Зависящий от параметра интеграл
-
Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).
Содержание
Зависящий от параметра собственный интеграл
Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область , на которой определена функция двух переменных.
Пусть далее, .
Функция и называется интегралом, зависящим от параметра.
Свойства интеграла, зависящего от параметра
Непрерывность
Пусть функция непрерывна в области как функция двух переменных. Тогда функция непрерывна на отрезке .
ДоказательствоРассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра.
.
По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть
.
Следовательно, при , что и означает непрерывность функции
Дифференцирование под знаком интеграла
Пусть теперь на области непрерывна не только функция , но и её частная производная .
Тогда , или, что то же самое,
ДоказательствоДанные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение .
Используя вновь теорему Кантора, но для функции мы получаем, что при , что и доказывает данную теорему
Интегрирование под знаком интеграла
Если функция непрерывна в области , то
, или, что то же самое:
ДоказательствоРассмотрим две функции:
на , следовательно .
Так как , то и На . Подставляя получаем условие теоремы.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Добавить иллюстрации.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Математический анализ
- Интегральное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.