Теорема об опорной гиперплоскости

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество $C \in \R^m$ и точка $z^* = (z^*_1, z^*_2,..., z^*_m) \in \R^m$, не принадлежащая множеству $~C$, то существуют такие числа $~a_1, a_2,...,a_m, b$, что $~a_1 z^*_1 + a_2 z^*_2 + ... + a_m z^*_m = b$ $~a_1 z_1 + a_2 z_2 + ... + a_m z_m > b, \forall z \in C$ Геометрически это означает, что через точку $~z^*$ можно провести гиперплоскость так, что множество $~C$ будет лежать «выше» этой гиперплоскости.

Доказательство

Прямоугольный треугольник $~\triangle c' c^* z^*$

Пусть $d(C, \;z^*)$ − расстояние между точкой $~z^*$ и точкой $c \in C$. Так как множество $~C$ замкнуто и ограничено, а значит, компактно, то

функция $d(C, \;z^*)$ непрерывна и достигает в некоторой точке $c^* \in C$ своего минимума.

Пусть $~P$ − гиперплоскость, проходящая через точку $~z^*$ и перпендикулярная прямой, соединяющей точки $~c^*$ и $~z^*$.

Докажем, что ни одна из точек множества $~C$ не содержится в гиперплоскости $~P$.

Предположим обратное, т.е., что существует такая точка $~c'$, принадлежащая как множеству $~C$, так и гиперплоскости $~P$.

Тогда в двухмерной плоскости, являющейся линейной оболочкой точек $~c', z^*, c^*$, эти три точки образуют прямоугольный треугольник

$~\triangle c' c^* z^*$ с прямым углом в вершине $~z^*$. При этом точка $~c''$ является выпуклой комбинацией точек $c',c^* \in C$, так как она находится

внутри отрезка, соединяющего точки $~c^*$ и $~z^*$. Однако, тогда расстояние от точки $~c''$, являющейся основанием перпендикуляра,

опущенного из вершины $~z^*$ на гипотенузу $~c^*c'$, до вершины $~z^*$ строго меньше, чем расстояние от вершины $~z^*$ до вершины $~c^*$, т.е.

$d(c'', \;z^*) < d(c^*, \;z^*)$.

Следовательно точка $~c'$ не может принадлежать множеству $~C$, так как это предположение противоречит тому, что функция $d(C, \;z^*)$ достигает своего минимума в точке $~c^*$.

Таким образом, ни одна из точек множества $~C$ не содержится в гиперплоскости $~P$. Значит, всё множество $~C$ содержится в одном из двух полупространств, определяемых

гиперплоскостью $~P$. Эти полупространства определяются следующими неравенствами:

$~a_1 z_1 + a_2 z_2 + ... + a_m z_m > b$

и

$~a_1 z_1 + a_2 z_2 + ... + a_m z_m < b$,

где числа $~a_i (1 \leqslant i \leqslant m)$ и $~b$ являются коэффициентами уравнения гиперплоскости $~P$, задаваемой уравнением:

$~a_1 z_1 + a_2 z_2 + ... + a_m z_m = b$

Теперь, если заменить $~a_1, a_2, ..., a_m, b$ на $~-a_1, -a_2, ..., -a_m, -b$, т.е. умножить уравнение гиперплоскости $~P$ на $~-1$, то гиперплоскость останется неизменной, а

полупространства поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство, в котором содержится множество $~C$, определяется неравенством:

$~a_1 z_1 + a_2 z_2 + ... + a_m z_m > b$.

Это доказывает теорему.

Литература

• Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргинштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
• Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
• Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.