- Мера иррациональности
-
Мера иррациональности действительного числа — это действительное число , показывающее, насколько хорошо может быть приближено рациональными числами.
Содержание
Определение
Пусть — действительное число, и пусть — множество всех чисел таких, что неравенство имеет лишь конечное число решений в целых числах и , для несократимых . Тогда мера иррациональности числа определяется как точная нижняя грань . Формально
и . Если , то полагают .
Другими словами, — наименьшее число такое, что для любого для всех рациональных приближений с достаточно большим знаменателем верно, что .
Возможные значения меры иррациональности
- тогда и только тогда, когда — рациональное число.
- Если — алгебраическое иррациональное число, то .
- Если — трансцендентное число, то . В частности, если , то число называют лиувиллевым числом.
Связь с цепными дробями
Если — разложение числа в цепную дробь, и — n-ая подходящая цепная дробь, то
С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения , и тогда .
Теорема Туэ — Зигеля — Рота
По лемме Дирихле, если иррационально, то , то есть . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа степени можно подобрать константу такую, что . В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота (англ.)русск.. Она утверждает, что если — алгебраическое иррациональное число, то . Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.
Верхние оценки меры иррациональности некоторых трансцендентных чисел
Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что , а числа Лиувилля имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. К примеру:
См. также
- Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
- Число Лиувилля
- Цепная дробь
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Irrationality Measure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категории:- Теория чисел
- Иррациональные числа
Wikimedia Foundation. 2010.