- Теорема Хелли
-
Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа.
Предположим, что
есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства , такое что пересечение любых из них непусто.
Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть
- .
Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:
Пусть есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств , такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
Содержание
Следствия
- Теорема Юнга: Пусть есть конечное множество точек в -мерном евклидовом пространстве такое, что любые точек из можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество можно накрыть единичным шаром.
Вариации и обобщения
- Пусть — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств . Если пересечение произвольного конечного подсемейства не пусто то также непусто.
История
Теорема была доказана Хелли (нем.) в 1913 о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923[1], уже после публикаций Радона[2] и Кёнига (англ.)[3].
См. также
Литература
- Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. Перев. с англ. — М.: Мир, 1968. — 159 с. — библ.: с.с. 128—156.
- ↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten, — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
- ↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten, — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
- ↑ D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.
Категории:- Комбинаторная геометрия
- Выпуклая геометрия
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.