- Теорема Паскаля
-
Теоре́ма Паска́ля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что
Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.
Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.Содержание
История
Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях).
О доказательствах
- Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
- Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
- Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
- В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.
Применение
- Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.
Вариации и обобщения
Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке).
В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.
В частности:
Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.
Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых А В и CD лежат на одной прямой.
Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.
Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.
В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:
Если многоугольник с сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в точке, то если этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.
Теорема Киркмана:Пусть точки , , , , и лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников , и пересекаются в одной точке.
См. также
- Паскалева и непаскалева геометрии
- Теорема Дезарга
Ссылки
- Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
- Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
- Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
- Живые чертежи (на Java)
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0
Категории:- Проективная геометрия
- Конические сечения
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.