- Гармоническая функция
-
Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:
где — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).
Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.
Содержание
Свойства
Принцип максимума
Функция U, гармоническая в области , достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать
Теорема Лиувилля
Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.
Свойство среднего
Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке , то её значение в точке равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:
где — объём шара и — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.
Дифференцируемость
Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.
Литература
- Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
См. также
- Оператор Лапласа
- Задача Дирихле
- Голоморфная функция
- Субгармоническая функция
- Плюригармоническая функция
Категории:- Дифференциальные уравнения
- Типы функций
- Гармонические функции
Wikimedia Foundation. 2010.